Sucesión matemática-

En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos.
Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.
En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.
Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro.
Véase secuencia, tupla, colección, familia y conjuntos en matemáticas.

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a₁, a₂, a₃ ,..., a_n

3, 6, 9,..., 3n

Los números a₁, a₂ , a₃ , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es a_n es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:

Por el término general

a_n= 2n-1

a₁= 2 ·1 - 1 = 1

a₂= 2 ·2 - 1 = 3

a₃= 2 ·3 - 1 = 5

a₄= 2 ·4 - 1 = 7

1, 3, 5, 7,..., 2n-1

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.

2, 4, 16, ...

Sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones a_n y b_n:

a_n= a₁, a₂, a₃, ..., a_n

b_n= b₁, b₂, b₃, ..., b_n

Suma de sucesiones

(a_n) + (b_n) = (a_n + b_n)

(a_n) + (b_n) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃, ..., a_n + b_n)

Propiedades

1 Asociativa:

(a_n + b_n) + c_n = a_n + (b_n + c _n)

2 Conmutativa:

a_n + b_n = b_n + a _n

3 Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ...)

a_n + 0 = a_n

4 Sucesión opuesta

(-a_n) = (-a₁, -a₂, -a₃, ..., -a_n)

a_n + (-a_n) = 0

Diferencia de sucesiones

(a_n) - (b_n) = (a_n - b_n)

(a_n) - (b_n) = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, a₃ - b₃, ..., a_n - b_n)

Producto de sucesiones

(a_n) · (b_n) = (a_n · b_n)

(a_n) · (b_n) = (a₁ · b₁, a₂ · b₂, a₃ · b₃, ..., a_n · b_n)

Propiedades

1 Asociativa:

(a_n · b_n) · c _n = a_n · (b_n · c _n)

2 Conmutativa:

a_n · b_n = b_n · a _n

3 Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ..)

a_n · 1 = a_n

4 Distributiva respecto a la suma

a_n · (b_n + c _n) = a_n · b_n + a_n · c _n

Sucesión inversible

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión b_n es inversible, su inversa es:

Cociente

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Tipos de sucesiones

Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

a_n+1 > a_n

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

a_n+1 ≥ a_n

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

a_n+1 < a_n

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

a_n+1 ≤ a_n

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, a_n= k.

a_n = a_n+1

5, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

a_n ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

a_n ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ a_n ≤ K'

Sucesiones convergentes

Límite = 0

Límite = 1

Sucesiones divergentes

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

Sucesiones alternadas

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.

Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.

Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)ⁿ n

Ejemplos

a_n = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

Es creciente.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El mínimo es 1.

No está acotada superiormente.

Divergente

b_n = -1, -2, -3, -4, -5, ... -n

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: -1, 0, 1, ...

El máximo es -1.

No está acotada inferiormente.

Divergente

c_n = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: 2, 3, 4, ...

El máximo es 2.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El ínfimo es 1.

Convergente, límite = 1.

d_n= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)^n-1 2ⁿ

No es monótona.

No está acotada.

No es convergente ni divergente.

pruebameee!!!!

FUNCIONES

Una funcion  es un proceso a traves del cual se transforma un estado inicial en  un estado final deseado y tal proceso se conoce de antemano.

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido


FUNCION CONSTANTE:
En matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes.
En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.
Esta función se puede escribir como

donde m y b son constantes reales y x es una variable real.

en esta recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2






En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

Gráficas de funciones cuadráticas.

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano XY haciendo:

esto es:

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.
Función cúbica: La función cúbica se define como polinomio de tercer grado; tiene la forma:

 ; donde a es distinto de 0

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.
Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:
f(x) = ,
Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:

• No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
• Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.
Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los números positivos.
Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:

INECUACIONES:
Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como Intervalo.

Se han cargado dos contenedores de igual peso y otra carga de 4 toneladas en un camión que soporta una carga máxima de 12 toneladas. ¿Entre qué valores puede oscilar el peso de cada contenedor?

Datos conocidos	Datos desconocidos
Dos contenedores de igual peso Carga máxima: 12 t	Peso de cada contenedor

Peso de un contenedor → x

Carga del camión → x + x + 4 = 2x + 4

$\underset{\underset{2x+1}{︸}}{\mathrm{La\; carga\; del\; camión}}\underset{\underset{\le }{︸}}{\mathrm{debe\; ser\; menor\; o\; igual}}\underset{\underset{\mathrm{12}}{︸}}{\mathrm{que\; carga\; máx}.}$

La inecuación será 2x + 4 ≤ 12.

Resolvemos la inecuación 2x + 4 ≤ 12.

1. 1.^o Transformamos la inecuación en ecuación, cambiando el signo de la desigualdad por un signo =.
   2x + 4 ≤ 12 → 2x + 4 = 12
2. 2.^o Resolvemos la ecuación resultante.
   2x + 4 = 12 → 2x = 12 - 4 → x = 4
3. 3.^o Representamos la solución en la recta.

VIDEOO!!!
http://www.youtube.com/watch?v=V5Y92aeEQos